Chương IV: GIỚI HẠN
(GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ - GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ - HÀM SỐ LIÊN TỤC)

A. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

I. Tóm tắt lý thuyết:

1. Giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực:
a). Giới hạn hữu hạn
(
un = a

(un – a) = 0
b). Giới hạn vô cực:
(
un = +

(
un = –


(–un ) = +

( Chú ý: Thay vì viết:
un = a;

un =
, ta viết tắt:
un = a;

un =

2. Các giới hạn đặc biệt:
a). lim
; lim
; limnk = +

( với k nguyên dương)
b).

c). limc = c ( với c là hằng số )
3. Định lí về giới hạn hữu hạn:
a). Nếu limun = a và limvn = b, thì:
( lim(un + vn) = a + b
( lim(un – vn) = a – b



( lim(un.vn) = a.b
(
( nếu
)
b). Nếu
, và limun = a, thì
.
4. Định lí liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực:
a). Nếu
un = a và
vn =

thì
.
b). Nếu lim un = a > 0, lim vn = 0 và vn > 0
n thì

c). Nếu limun = +
và limvn = a > 0 thì lim(un.vn) = +
.
5. Cấp số nhân lùi vô hạn:
a). Định nghĩa: CSN lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn có công bội q thỏa mãn
.
b). Công thức tính tổng của CSNLVH:



II. Các dạng bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm giới hạn sau:
a). lim(2n2 + 3n – 1) b). lim(– n2 – n + 3) c). lim(3n3 – n2 + n + 5)
Bài 2 Tìm giới hạn sau:
a).
b).
c).
d).
e).
f).

g).
h).
i).
j).

k).
l).
m).
n).

o).


Bài 3: Tìm các giới hạn sau:
a).
b).
c).
d).
e).

f).
g).
h).
i).
j).

Bài 4: Tìm các giới hạn sau:
a).
b).
c).

d).
e).
f).
g).

h).
i).
j).

k).

Bài 5: Tìm các giới hạn sau:
a).
b).

c).



Bài 6: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:
a).

b).

c).

Bài 7: Tìm các giới hạn sau:
a).
b).
; c).

d).








B. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

I. Tóm tắt lý thuyết:

1). Giới hạn hữu hạn:
2). Giới hạn vô cực:
3). Các giới hạn đặc biệt:
():Định lí 1:
a).
b).
c).

d).
e).
với k nguyên dương
f).

4). Định lí về giới hạn hữu hạn:
a). Nếu
và
, thì:
(

(

(

(
;
b). Nếu
và
,
thì:


( Chú ý: Định lí 1 vẫn đúng khi
hoặc
)
():Định lí 2:


5). Quy tắc về giới hạn vô cực:

;

a). Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x):









L > 0











L < 0












b). Quy tắc tìm giới hạn của thương
:




Dấu của f(x)



L


Tùy ý
0

L > 0

0
+





–



L < 0

0
+





–




II. Các dạng bài tập áp dụng:
Bài 1 : Tính giới hạn :
a).
b).
c).
d).
e).

Bài 2 : Tính các gới hạn sau